Własność Schura Spis treści Własności | Związek z przestrzenią ℓ1 | Przypisy | Bibliografia |...
Przestrzenie Banacha
analizie funkcjonalnejprzestrzeń Banachasłabej topologiiIssai Schuraprzestrzeń ℓ1dowódośrodkowaprzestrzeni L1Jean Bourgain
Własność Schura – w analizie funkcjonalnej, przestrzeń Banacha X ma własność Schura, gdy każdy ciąg elementów przestrzeni X zbieżny w słabej topologii (słabo) jest zbieżny w topologii normy (mocno). Nazwa własności pochodzi od Issai Schura, który opublikował w 1921 dowód twierdzenia mówiącego, że przestrzeń ℓ1 ma tę własność[1] (zob. dowód).
Spis treści
1 Własności
2 Związek z przestrzenią ℓ1
3 Przypisy
4 Bibliografia
Własności |
- Każda przestrzeń o własności Schura jest słabo ciągowo zupełna. Istotnie, niech (xn)n=1∞{displaystyle (x_{n})_{n=1}^{infty }} będzie słabym ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, która ma własność Schura. Dla każdych dwóch ściśle rosnących ciągów liczb naturalnych (nk)k=1∞,(mk)k=1∞{displaystyle (n_{k})_{k=1}^{infty },(m_{k})_{k=1}^{infty }} ciąg
- (xnk−xmk)k=1∞{displaystyle (x_{n_{k}}-x_{m_{k}})_{k=1}^{infty }}
- jest słabo zbieżny do 0. Własność Schura implikuje, że
- limk→∞‖xnk−xmk‖=0.{displaystyle lim _{kto infty }|x_{n_{k}}-x_{m_{k}}|=0.}
- Oznacza to, że ciąg (xn)n=1∞{displaystyle (x_{n})_{n=1}^{infty }} jest ciągiem Cauchy'ego w przestrzeni Banacha X, a więc jest on zbieżny[2].
- Każda domknięta i nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń liniowa przestrzeni o własności Schura ma również własność Schura oraz zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1[3].
- Niech X będzie przestrzenią Banacha o własności własność Dunforda-Pettisa, która nie zawiera izomorficznych kopii przestrzeni ℓ1. Wówczas przestrzeń sprzężona X* ma własność Schura[4].
Związek z przestrzenią ℓ1 |
Prototypicznym przykładem przestrzeni mającej własność Schura jest przestrzeń ℓ1. Każda domknięta podrzestrzeń przestrzeni ℓ1 ma własność Schura, jednak nie każda (ośrodkowa) przestrzeń o własności Schura zanurza się izomorficznie w ℓ1. Stosowny przykład podprzestrzeni przestrzeni przestrzeni L1 o własności Schura, która nie zanurza się w ℓ1 podali Jean Bourgain oraz Haskell Rosenthal[5]. Bourgain podał przykład przestrzeni Banacha, której każda domknięta nieskończenie wymiarowa podprzestrzeń zawiera izomorficzną kopię przestrzeni ℓ1, która mimo to nie ma własności Schura[6] (inne przykłady pochodzą od Azimiego i Haglera[7] oraz Popowa[8].
Przypisy |
↑ I. Schur, Über lineare Transformationen in der Theorie der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 151 (1920), 79-111.
↑ Albiac i Kalton 2006 ↓, s. 38.
↑ Morrison 2001 ↓, s. 259.
↑ Lin 2004 ↓, s. 60.
↑ J. Bourgain, H. P. Rosenthal, Martingales valued in certain subspaces of L1, Isr. J. Math. 37 (1-2) (1980), 54–75.
↑ J. Bourgain, ℓ1-subspaces of Banach spaces. Lecture notes. Free University of Brussels.
↑ P. Azimi, J. N. Hagler, Examples of hereditarily ℓ1 Banach spaces failing the Schur property, Pacif. J. Math. 122 (2)(1986), 287–297.
↑ M. M. Popov, A hereditary ℓ1-subspace of L1 without the Schur property, Proc. Amer. Math. Soc. 133, 7 (2005), 2023–2028.
Bibliografia |
- F. Albiac, N. J. Kalton: Topics in Banach Space Theory. Springer-Verlag GmbH, 2006. ISBN 978-0-387-28141-4.
- Pei-Kee Lin: Köthe-Bochner Function Spaces. Birkhäuser Basel, 2004. ISBN 978-0-8176-3521-3.
- Terry J. Morrison: Functional Analysis: An Introduction to Banach Space Theory. New York: John Wiley & Sons, Inc., 2001. ISBN 978-0-471-37214-1.
