Mrthfx

Izomorfizm muzyczny – izomorfizm między wiązką styczną TM{displaystyle TM} a wiązką kostyczną T∗M{displaystyle T^{*}M} rozmaitości riemannowskiej M{displaystyle M} określony za pomocą jej metryki. Znany jest również jako podnoszenie i opuszczanie wskaźników.

Dyskusja |

 Zobacz też: konwencja sumacyjna Einsteina.

Niech (M,g){displaystyle (M,g)} oznacza rozmaitość riemannowską, zaś {∂i}{displaystyle {partial _{i}}} oznacza lokalny układ współrzędnych dla wiązki stycznej T⁡M{displaystyle operatorname {T} M} z dualnym do niego koukładem {d⁡xi}.{displaystyle {operatorname {d} x^{i}}.} Wówczas można wyrazić lokalnie metrykę riemannowską (która jest 2-kowariantnym polem tensorowym symetrycznym i dodatnio określone) jako g=gijd⁡xi⊗d⁡xj.{displaystyle g=g_{ij}operatorname {d} x^{i}otimes operatorname {d} x^{j}.} Dla danego pola wektorowego X=Xi∂i{displaystyle X=X^{i}partial _{i}} można zdefiniować jego bemol jako

X♭:=gijXid⁡xj=:Xjd⁡xj.{displaystyle X^{flat }:=g_{ij}X^{i}operatorname {d} x^{j}=:X_{j}operatorname {d} x^{j}.}

Operację tę nazywa się „opuszczaniem wskaźnika”. Korzystając z tradycyjnej notacji nawiasów kątowych dla iloczynu skalarnego wyznaczonego przez g{displaystyle g} otrzymuje się nieco bardziej przejrzysty związek

X♭(Y)=⟨X,Y⟩{displaystyle X^{flat }(Y)=langle X,Yrangle }

dla wszystkich wektorów X{displaystyle X} oraz Y.{displaystyle Y.}

Alternatywnie, dla danego pola kowektorowego ω=ωid⁡xi{displaystyle omega =omega _{i}operatorname {d} x^{i}} można określić jego krzyżyk jako

ω♯:=gijωi∂j,{displaystyle omega ^{sharp }:=g^{ij}omega _{i}partial _{j},}

gdzie gij{displaystyle g^{ij}} są elementami macierzy odwrotnej do gij.{displaystyle g_{ij}.} Branie krzyżyka pola kowektorowego nazywa się „podnoszeniem wskaźnika”.

Konstrukcja ta daje dwa wzajemnie odwrotne izomorfizmy ♭:T⁡M→T∗⁡M{displaystyle flat colon operatorname {T} Mto operatorname {T} ^{*}M} oraz ♯:T∗⁡M→T⁡M.{displaystyle sharp colon operatorname {T} ^{*}Mto operatorname {T} M.} Są to izomorfizmy wiązek wektorowych, które dla każdego p∈M{displaystyle pin M} dają odwrotne izomorfizmy przestrzeni liniowych między Tp⁡M{displaystyle operatorname {T} _{p}M} oraz Tp∗⁡M.{displaystyle operatorname {T} _{p}^{*}M.}

Izomorfizmy muzyczne mogą być także rozszerzone na wiązki ⨂kT⁡M{displaystyle bigotimes ^{k}operatorname {T} M} oraz ⨂kT∗⁡M.{displaystyle bigotimes ^{k}operatorname {T} ^{*}M.} Należy przy tym zaznaczyć, który ze wskaźników ma być podniesiony lub opuszczony. Przykładowo niech dane będzie pole (2,0){displaystyle (2,0)}-tensorowe X=Xijd⁡xi⊗d⁡xj.{displaystyle X=X_{ij}operatorname {d} x^{i}otimes operatorname {d} x^{j}.} Podnosząc drugi wskaźnik uzyskuje się pole (1,1){displaystyle (1,1)}-tensorowe X♯=gjkXijd⁡xi⊗∂k.{displaystyle X^{sharp }=g^{jk}X_{ij}operatorname {d} x^{i}otimes partial _{k}.}

Ślad tensora poprzez metrykę |

Niech dla danego pola (2,0){displaystyle (2,0)}-tensorowego X=Xijd⁡xi⊗d⁡xj{displaystyle X=X_{ij}operatorname {d} x^{i}otimes operatorname {d} x^{j}} będzie określony ślad X{displaystyle X} poprzez metrykę g{displaystyle g} jako

trg⁡(X):=tr⁡(X♯)=tr⁡(gjkXij)=gjiXij=gijXij.{displaystyle operatorname {tr} _{g}(X):=operatorname {tr} (X^{sharp })=operatorname {tr} (g^{jk}X_{ij})=g^{ji}X_{ij}=g^{ij}X_{ij}.}

Należy zauważyć, że definicja śladu jest niezależna od wyboru podnoszonego wskaźnika, gdyż tensor metryczny jest symetryczny.

Zobacz też |

• dualność


• podnoszenie i opuszczanie wskaźników


• wiązka wektorowa


• 
  bemol i krzyżyk o znakach oraz ♭ i ♯