Mrthfx

Wektor zerowy – wektor przestrzeni liniowej pełniący rolę elementu neutralnego dodawania wektorów; zapisywany zwykle symbolem zera, 0,{displaystyle 0,} często dodatkowo wyróżnionym, np. wytłuszczeniem 0,{displaystyle mathbf {0} ,} czy strzałką 0→.{displaystyle {vec {0}}.} Przestrzeń zerowa (trywialna) to najmniejsza w sensie zawierania przestrzeń liniowa – zawiera ona wyłącznie wektor zerowy, którego istnienie w dowolnej przestrzeni liniowej postulowane jest w jej aksjomatach. Przeciwobraz wektora zerowego (przestrzeni zerowej) w przekształceniu liniowym nazywa się jądrem tego przekształcenia.

W dalszej części artykułu pierwszy symbol będzie oznaczał element neutralny dodawania w ciele (skalar zerowy), drugi – w przestrzeni liniowej (wektor zerowy).

Własności |

Przestrzeń liniową można scharakteryzować jako grupę abelową (tzn. grupę z działaniem przemiennym) ze zgodnym z nim działaniem mnożenia przez skalar; element neutralny działania definiuje się jako taki wektor 0,{displaystyle mathbf {0} ,} który dla każdego elementu x{displaystyle mathbf {x} } tej przestrzeni spełnia

x+0=0+x=x,{displaystyle mathbf {x+0} =mathbf {0+x} =mathbf {x} ,}

przy czym w grupie element ten jest wyznaczony jednoznacznie i służy zdefiniowaniu wektora przeciwnego do danego (jako wektora, który w sumie z danym daje wektor zerowy). Zgodnie z aksjomatami przestrzeni liniowej dla dowolnego wektora x{displaystyle mathbf {x} } oraz skalara (elementu z ciała) a{displaystyle a} zachodzą tożsamości:

0x=0{displaystyle 0mathbf {x} =mathbf {0} }

oraz

a0=0.{displaystyle amathbf {0} =mathbf {0} .}

Z pierwszej z nich na mocy zasady indukcji dla dowolnego układu wektorów x1,…,xn{displaystyle mathbf {x} _{1},dots ,mathbf {x} _{n}} można uzyskać, iż

a1x1+⋯+anxn=0,{displaystyle a_{1}mathbf {x} _{1}+dots +a_{n}mathbf {x} _{n}=mathbf {0} ,}

o ile tylko a1=⋯=an=0;{displaystyle a_{1}=dots =a_{n}=0;} z drugiej jednak strony, jeśli jest to jedyny układ skalarów o tej własności, to układ x1,…,xn{displaystyle mathbf {x} _{1},dots ,mathbf {x} _{n}} nazywa się niezależnym (w przeciwnym przypadku mówi się, że jest zależny). Druga tożsamość mówi więc, że układ złożony z wektora zerowego jest zależny. Ponieważ dowolny układ zawierający podukład zależny jest zależny, to wynika stąd, że każdy układ zawierający wektor zerowy jest zależny.

Dodatkowe struktury |

W przestrzeniach współrzędnych (przestrzenie liniowe z wybraną bazą uporządkowaną) wektor zerowy to wektor o wszystkich składowych równych zeru, czyli (0,…,0).{displaystyle (0,dots ,0).} W przestrzeniach afinicznych wektor zerowy wyznaczany jest przez dowolny punkt p{displaystyle mathrm {p} } tej przestrzeni jako p−p=pp→.{displaystyle mathrm {p} -mathrm {p} ={overrightarrow {mathrm {pp} }}.} W przestrzeni liniowej z normą jedynym wektorem o normie równej zero jest wektor zerowy. W przestrzeniach liniowych z półnormą wektorem zerowym nazywa się dowolny wektor o zerowej półnormie; w przestrzeni Minkowskiego dla odróżnienia od jedynego wektora o wszystkich współrzędnych zerowych wektor o zerowej normie Minkowskiego nazywa się też wektorem światłopodobnym. W przestrzeniach unitarnych (tzn. przestrzeniach liniowych z iloczynem skalarnym) zachodzi ⟨0,x⟩=⟨x,0⟩=0,{displaystyle langle mathbf {0} ,mathbf {x} rangle =langle mathbf {x} ,mathbf {0} rangle =0,} skąd również 0⟨x,y⟩=0{displaystyle 0langle mathbf {mathbf {x} } ,mathbf {y} rangle =0} dla dowolnych wektorów x,y.{displaystyle mathbf {x} ,mathbf {y} .}