Mrthfx

Przestrzeń styczna TxM{displaystyle T_{x}M} 2-wymiarowa (czyli płaszczyzna) do 2-wymiarowej rozmaitości M{displaystyle M} (powierzchni) w punkcie x{displaystyle x} oraz wektor styczny v∈TxM{displaystyle vin T_{x}M} do krzywej γ{displaystyle gamma } przechodzącej przez punkt x∈M.{displaystyle xin M.}

Przestrzeń styczna – to przestrzeń liniowa utworzona z wektorów zaczepionych w ustalonym punkcie x{displaystyle x} przestrzeni M,{displaystyle M,} przy czym:

1. Przestrzeń M{displaystyle M} w ogólności może być dowolną rozmaitością topologiczną.


2. 
   Wymiar przestrzeni stycznej jest równy wymiarowi rozmaitości M.{displaystyle M.}
   


3. Każdy element przestrzeni stycznej – wektor styczny do M{displaystyle M} w punkcie x{displaystyle x} – jest styczny do jakiejś krzywej gładkiej rozmaitości, przechodzącej przez punkt x.{displaystyle x.}
   


4. Przestrzeń styczną do M{displaystyle M} w punkcie x{displaystyle x} oznacza się Tx(M){displaystyle T_{x}(M)} lub TxM{displaystyle T_{x}M}
   

Przestrzenie styczne do rozmaitości w różnych jej punktach są różnymi przestrzeniami.

Wektory z przestrzeni stycznej tworzą zbiór możliwych wektorów prędkości v,{displaystyle v,} jakie może mieć ciało w położeniu x,{displaystyle x,} poruszając się po rozmaitości. Po przesunięciu się ciała do innego punktu prędkość ciała będzie dana przez inny wektor – taki, który należy do przestrzeni stycznej tego punktu (nie pokazano tego na rysunku).

Przestrzeń styczna do 2-wymiarowej powierzchni |

Przestrzeń styczna (płaszczyzna styczna) w punkcie x{displaystyle x} na sferze.

Wszystkie krzywe przechodzące przez dany punkt x{displaystyle x} leżący na 2-wymiarowej powierzchni M{displaystyle M} (np. powierzchni sfery czy elipsoidy itp.) mają wektor styczny, zaczepiony w tym punkcie. Suma dwóch wektorów stycznych jest nadal wektorem stycznym do jakiejś krzywej na tej powierzchni, przechodzącej przez punkt x.{displaystyle x.} To samo dotyczy mnożenia wektorów stycznych przez skalar.

Wszystkie wektory styczne do krzywych na powierzchni rozpinają więc w punkcie x{displaystyle x} 2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę styczną w punkcie x{displaystyle x} do powierzchni M.{displaystyle M.}

Płaszczyzna styczna w punkcie x{displaystyle x} stanowi więc przybliżenie płaskie (liniowe w 2 wymiarach) powierzchni zakrzywionej M;{displaystyle M;} przybliżenie to jest tym lepsze, im bliżej punktu x{displaystyle x} znajdują się punkty rozmaitości.

Przestrzeń styczna do 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej |

W 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej E{displaystyle E} wektor zaczepiony w pewnym punkcie jest określony przez punkt zaczepienia oraz 3 współrzędne. Wektory zaczepione w różnych punktach uważa się za odrębne, nawet jeśli mają te same współrzędne. Wektory zaczepione w tym samym punkcie x{displaystyle x} tworzą 3-wymiarową przestrzeń euklidesową, gdyż spośród wszystkich takich wektorów można wybrać tylko 3 liniowo niezależne. Wektory te tworzą bazę przestrzeni stycznej do E{displaystyle E} w punkcie x{displaystyle x} i oznacza symbolem Tx(E).{displaystyle T_{x}(E).}

Wektory należą do tej samej przestrzeni stycznej, jeżeli mają ten sam punkt zaczepienia. Wektory zaczepione w różnych punktach przestrzeni E{displaystyle E} należą do różnych przestrzeni stycznych.

Przestrzeń styczna do 3-wymiarowej rozmaitości |

Krzywe w 3-wymiarowej, dowolnej rozmaitości M{displaystyle M} przechodzące przez ustalony punkt x{displaystyle x} mają wektory do nich styczne w tym punkcie. Wektory te rozpinają 3-wymiarową przestrzeń euklidesową, styczną do przestrzeni M{displaystyle M} w punkcie x,{displaystyle x,} która jest aproksymacją płaską rozmaitości w ogólnym przypadku dowolnie zakrzywionej.

Przestrzeń styczna – pojęcie wewnętrzne rozmaitości |

W opisie przestrzeni stycznej do dowolnej rozmaitości nie jest konieczne odwoływanie się do przestrzeni euklidesowej wyższego wymiaru, w której ta rozmaitość jest zanurzona.

Np. Sfera jest rozmaitością różniczkową 2-wymiarową. Powierzchnię sfery w otoczeniu punktu x{displaystyle x} można sparametryzować za pomocą współrzędnych sferycznych θ{displaystyle theta } i ϕ.{displaystyle phi .} Mówi się, że za pomocą tych współrzędnych określona jest mapa ze sfery na przestrzeń R2,{displaystyle mathbb {R} ^{2},} przy czym:

• każdemu punktowi x{displaystyle x} na sferze odpowiada jednoznacznie punkt o współrzędnych (θ(x),ϕ(x)){displaystyle (theta (x),phi (x))} w przestrzeni R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
  


• każdej krzywej x(t){displaystyle x(t)} na sferze odpowiada jednoznacznie krzywa w R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}} złożona z punktów o współrzędnych (θ(t),ϕ(t)){displaystyle (theta (t),phi (t))} odpowiadających punktom x(t){displaystyle x(t)} krzywej


• wektorowi stycznemu do krzywej na sferze odpowiada wektor styczny do krzywej w przestrzeni R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
  

Tak określona przestrzeń styczna jest przestrzenią wektorową wymiaru 2, czyli tego samego wymiaru co sfera, do której jest styczna, gdyż:

• działaniom dodawania wektorów na sferze i mnożenia ich przez skalar (czyli działania określone w każdej przestrzeni wektorowej) odpowiadają analogiczne działania na odpowiadających im wektorach w przestrzeni R2{displaystyle mathbb {R} ^{2}}
  


• przestrzeń styczna nie zależy od wyboru współrzędnych krzywoliniowych i będzie identyczna dla każdej innej mapy

Zatem wektory styczne do sfery w punkcie x{displaystyle x} tworzą 2-wymiarową przestrzeń styczną – płaszczyznę R2.{displaystyle mathbb {R} ^{2}.} Pokazaliśmy to nie odwołując się do pojęcia zanurzenia sfery w przestrzeni 3-wymiarowej.

Przestrzeń styczna do n-wymiarowej rozmaitości |

Rozmaitość w najogólniejszym przypadku jest przestrzenią topologiczna, która ma lokalnie własności przestrzeni euklidesowej. Rozmaitość ma wymiar n, jeżeli przez każdy punkt x{displaystyle x} rozmaitości przechodzą krzywe, których wektory styczne tworzą n-wymiarowe przestrzenie styczne (przestrzenie euklidesowe).

Definicja formalna przestrzeni stycznej |

(1) Niech (U,ϕ){displaystyle (U,phi )} będzie mapą otoczenia U{displaystyle U} punktu x{displaystyle x} rozmaitości różniczkowej M{displaystyle M} klasy C1{displaystyle C^{1}} wymiaru n.{displaystyle n.}

Krzywą klasy Cr{displaystyle C^{r}} na rozmaitości M{displaystyle M} przechodzącą przez punkt x{displaystyle x} nazywa się odwzorowanie γ{displaystyle gamma } klasy Cr{displaystyle C^{r}} dowolnego przedziału (−ϵ,ϵ)⊂R{displaystyle (-epsilon ,epsilon )subset mathbb {R} } w M,{displaystyle M,} tj.

γ: (−ϵ,ϵ)→M,{displaystyle gamma : (-epsilon ,epsilon )rightarrow M,}

takie że γ(0)=x.{displaystyle gamma (0)=x.}

(2) Na zbiorze T¯p(M){displaystyle {overline {T}}_{p}(M)} wszystkich krzywych klasy C1{displaystyle C^{1}} na rozmaitości M{displaystyle M} i przechodzących przez punkt x{displaystyle x} określamy relację równoważności ∼{displaystyle sim } taką, że dwie krzywe γ1{displaystyle gamma _{1}} i γ2{displaystyle gamma _{2}} są w relacji o ile wektory styczne w zerze do krzywych ϕ∘γ1{displaystyle phi circ gamma _{1}} oraz ϕ∘γ2{displaystyle phi circ gamma _{2}} (obie krzywe leżą w Rn{displaystyle mathbb {R} ^{n}}) są równe, czyli:

γ1∼γ2⟺ddt(ϕ∘γ1)|t=0=ddt(ϕ∘γ2)|t=0{displaystyle gamma _{1}sim gamma _{2}iff {frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(phi circ gamma _{1}){Big |}_{t=0}={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(phi circ gamma _{2}){Big |}_{t=0}}

Można sprawdzić, że taka definicja relacji nie zależy od wyboru początkowej mapy (U,ϕ).{displaystyle (U,phi ).}

(3) Przestrzeń styczną do rozmaitości różniczkowej M{displaystyle M} klasy C1{displaystyle C^{1}} w punkcie x,{displaystyle x,} oznaczaną Tx(M),{displaystyle T_{x}(M),} definiuje się jako zbiór klas abstrakcji relacji ∼:{displaystyle sim {:}}

Tx(M):=T¯x(M)/∼{displaystyle T_{x}(M):={overline {T}}_{x}(M)/sim }^[1]

Odwzorowanie Θ¯ϕ:T¯x(M)→Rn{displaystyle {overline {Theta }}_{phi }:{overline {T}}_{x}(M)to mathbb {R} ^{n}} przyporządkowujące krzywej γ,{displaystyle gamma ,} przechodzącej przez x,{displaystyle x,} jej wektor styczny w zerze:

Θ¯ϕ(γ):=ddt(ϕ∘γ)|t=0{displaystyle {overline {Theta }}_{phi }(gamma ):={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(phi circ gamma ){Big |}_{t=0}}

jest stałe na klasach abstrakcji relacji ∼{displaystyle sim } i indukuje bijekcję Θϕ: Tx(M)→Rn,{displaystyle Theta _{phi }: T_{x}(M)rightarrow mathbb {R} ^{n},} daną wzorem: Θϕ(γ′):=ddt(ϕ∘γ)|t=0,{displaystyle Theta _{phi }(gamma '):={frac {mathrm {d} }{mathrm {d} t}}(phi circ gamma ){Big |}_{t=0},} gdzie γ′{displaystyle gamma '} oznacza klasę abstrakcji krzywej γ{displaystyle gamma } względem relacji ∼{displaystyle sim } (γ′∈Tx(M)).{displaystyle (gamma 'in T_{x}(M)).} Zatem Tx(M){displaystyle T_{x}(M)} ma strukturę przestrzeni liniowej wymiaru n,{displaystyle n,} przeniesioną przez bijekcję Θϕ,{displaystyle Theta _{phi },} tzn. działania w przestrzeni stycznej Tx(M){displaystyle T_{x}(M)} definiujemy następująco^[2]:

u+v:=Θϕ−1(Θϕ(u)+Θϕ(v)),{displaystyle u+v:=Theta _{phi }^{-1}(Theta _{phi }(u)+Theta _{phi }(v)),} dla dowolnych u, v∈Tx(M),{displaystyle u, vin T_{x}(M),}

α⋅v:=Θϕ−1(αΘϕ(v)),{displaystyle alpha cdot v:=Theta _{phi }^{-1}(alpha Theta _{phi }(v)),} dla dowolnego v∈Tx(M),{displaystyle vin T_{x}(M),} oraz dowolnego α∈R.{displaystyle alpha in mathbb {R} .}

(4) Niezależność od wyboru mapy

Definicja przestrzeni stycznej nie zależy od wyboru mapy początkowej (U,ϕ).{displaystyle (U,phi ).} Wzięcie innej mapy nie zmienia równości wektorów stycznych do krzywych, czyli relacji ∼.{displaystyle sim .}

Zobacz też |

• przestrzeń kostyczna


• wektor styczny


• wiązka styczna


• współrzędne krzywoliniowe

Przypisy |

Bibliografia |

• WojciechW. Wojtyński WojciechW., Grupy i algebry Liego, Warszawa: PWN, 1986, ISBN 83-01-04934-0, OCLC 835897238 .