Mrthfx

Presnopem określonym na przestrzeni topologicznej X{displaystyle X;} nazywamy funkcję F{displaystyle {mathcal {F}}} określoną na rodzinie O{displaystyle {mathfrak {O}}} wszystkich podzbiorów otwartych tej przestrzeni, taką że dla dowolnych zbiorów U,V∈O,U⊂V{displaystyle U,Vin {mathfrak {O}},Usubset V} określona jest funkcja

ρUV:F(V)→F(U){displaystyle rho _{U}^{V}:{mathcal {F}}(V)to {mathcal {F}}(U)}

o własnościach:

1. 
   F(∅){displaystyle {mathcal {F}}(varnothing )} składa się z jednego elementu,


2. 
   ρUU=IdU{displaystyle rho _{U}^{U}=operatorname {Id} _{U}} (ρUU{displaystyle rho _{U}^{U}} jest przekształceniem tożsamościowym na U{displaystyle U;}),


3. dla dowolnych zbiorów otwartych U⊂V⊂W{displaystyle Usubset Vsubset W}: ρUW=ρUV∘ρVW{displaystyle rho _{U}^{W}=rho _{U}^{V}circ rho _{V}^{W}}^[1]
   

Czasem taki presnop oznacza się przez F{displaystyle {mathcal {F}}}. Jeśli istotne jest podkreślenie, że funkcja ρUV{displaystyle rho _{U}^{V}} jest związana z presnopem F{displaystyle {mathcal {F}}}, to stosowane jest oznaczenie ρU,FV{displaystyle rho _{U,{mathcal {F}}}^{V}}. Funkcja ρUV{displaystyle rho _{U}^{V}} jest nazywana odwzorowaniem ograniczenia.

Jeśli wszystkie zbiory F(V){displaystyle {mathcal {F}}(V)} są grupami, modułami nad ustalonym pierścieniem, albo pierścieniami, a odwzorowania ρUV{displaystyle rho _{U}^{V}} są homomorfizmami tych struktur algebraicznych, to presnop nazywany jest odpowiednio presnopem grup, modułów, albo pierścieni^[1].

Własności |

• Presnop grup abelowych można zdefiniować jako funktor kontrawariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni X{displaystyle X;} w kategorię grup abelowych^[2].


• Można definiować presnop jako funktor kowariantny z kategorii podzbiorów otwartych przestrzeni X{displaystyle X;} w dowolną kategorię^[2].

Przykłady |

• Jeśli M{displaystyle M;} jest zbiorem, F(U){displaystyle {mathcal {F}}(U)} jest zbiorem wszystkich funkcji na U{displaystyle U;} o wartościach w M{displaystyle M;} oraz ρUV(f)=f|U{displaystyle rho _{U}^{V}(f)=f|_{U}} dla f∈F(V){displaystyle fin {mathcal {F}}(V)}, to F{displaystyle {mathcal {F}}} jest nazywany presnopem wszystkich funkcji na X{displaystyle X;}^[1].


• Jeśli M{displaystyle M;} jest przestrzenią topologiczną, F(U){displaystyle {mathcal {F}}(U)} jest zbiorem wszystkich funkcji ciągłych na U{displaystyle U;} o wartościach w M{displaystyle M;}, a ρUV{displaystyle rho _{U}^{V}} jest określone tak, jak w poprzednim przykładzie, to F{displaystyle {mathcal {F}}} jest nazywany presnopem funkcji ciągłych na X{displaystyle X;}^[1].


• Każdy presnop generuje pewien snop^[2]. Niech F{displaystyle {mathcal {F}}} będzie presnopem na przestrzeni topologicznej X{displaystyle X;}. Dla każdego zbioru otwartego U⊂X{displaystyle Usubset X} niech U×F(U){displaystyle Utimes {mathcal {F}}(U)} będzie iloczynem kartezjańskim przestrzeni topologicznych: U{displaystyle U;} z topologią indukowaną przez topologię X{displaystyle X;} oraz F(U){displaystyle {mathcal {F}}(U)} z topologią dyskretną. Niech E=⨆U⊂X(U×F(U)){displaystyle E=bigsqcup _{Usubset X}(Utimes {mathcal {F}}(U))} będzie sumą rozłączną tych przestrzeni, gdzie U{displaystyle U;} przebiega zbiór wszystkich zbiorów otwartych w X{displaystyle X;}. Na tej przestrzeni można określić relację równoważności R{displaystyle R;}:

dla (x,s)∈U×F(U){displaystyle (x,s)in Utimes {mathcal {F}}(U)} i (y,t)∈V×F(V){displaystyle (y,t)in Vtimes {mathcal {F}}(V)}:

(x,s)R(y,t)⇔(x=y∧∃x∈W⊂U∩VρWU(s)=ρWV(t)){displaystyle (x,s)R(y,t)Leftrightarrow (x=yland exists _{xin Wsubset Ucap V}rho _{W}^{U}(s)=rho _{W}^{V}(t))}.

Wtedy przestrzeń ilorazowa F=F/R{displaystyle {mathfrak {F}}={mathcal {F}}/R} z rzutowaniem π:F→X{displaystyle pi :{mathfrak {F}}to X} indukowanym przez rzutowanie p:E→X{displaystyle p:Eto X} określone wzorem p(x,s)=x{displaystyle p(x,s)=x;} jest snopem na X{displaystyle X;} nazywanym snopem generowanym przez presnop F{displaystyle {mathcal {F}}}.

• Istnieją presnopy, które nie są snopami^[1].

Przypisy |