Całka J Dwuwymiarowa całka J | Zobacz też | Przypisy | Menu nawigacyjneA Path Independent Integral...
Wytrzymałość materiałówCałki
w konwencji EinsteinaTwierdzenie Greena
Całka J przedstawia sposób opisu pola naprężeń, a dokładniej - stanu energetycznego w strefie czoła pęknięcia. Teoretyczne osnowy zostały opracowane w 1967 przez Cherepanowa i w 1968 przez Jima Rice'a niezależnie. Udowodnili, że całka J jest niezależna od drogi całkowania.
Dwuwymiarowa całka J |
Łuk otwarty dla którego oblicza się wartość całki J
Dwuwymiarowa całka J była początkowo określana jako[1]
- J:=∫Γ(W dx2−t⋅∂u∂x1 ds){displaystyle J:=int _{Gamma }left(W~dx_{2}-mathbf {t} cdot {cfrac {partial mathbf {u} }{partial x_{1}}}~dsright)}
gdzie W(x1,x2){displaystyle W(x_{1},x_{2})} jest oznacza gęstość energii odkształcenia, x1,x2{displaystyle x_{1},x_{2}} oznaczają współrzędne układu, t=n⋅σ{displaystyle mathbf {t} =mathbf {n} cdot {boldsymbol {sigma }}} oznacza wektor sił powierzchniowych na krzywej Γ{displaystyle Gamma } odpowiadającym jednostkowemu wektorowi n{displaystyle mathbf {n} } zewnętrznej normalnej do Γ{displaystyle Gamma }, σ{displaystyle sigma } oznacza tensor naprężeń Cauchy'ego, a u{displaystyle mathbf {u} } wektor przemieszczenia. Gęstość energii odkształcenia jest dany przez
- W=∫0ϵσ:dϵ ; ϵ=12[∇u+(∇u)T] .{displaystyle W=int _{0}^{epsilon }{boldsymbol {sigma }}:d{boldsymbol {epsilon }}~;~~{boldsymbol {epsilon }}={tfrac {1}{2}}left[{boldsymbol {nabla }}mathbf {u} +({boldsymbol {nabla }}mathbf {u} )^{T}right]~.}
![{displaystyle W=int _{0}^{epsilon }{boldsymbol {sigma }}:d{boldsymbol {epsilon }}~;~~{boldsymbol {epsilon }}={tfrac {1}{2}}left[{boldsymbol {nabla }}mathbf {u} +({boldsymbol {nabla }}mathbf {u} )^{T}right]~.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b04dd341bfeeeb21bfe77d9cf364bfc36082a74)
Dla materiału liniowo-sprężystego, gęstość energii odkształcenia w punkcie upraszcza się do:
W=12σijϵij{displaystyle W={frac {1}{2}}sigma _{ij}epsilon _{ij}}.
Kontur zamknięty, na którym wartość całki J się zeruje
Całka J wokół czoła pęknięcia jest często wyrażana w bardziej ogólnej formie (w konwencji Einsteina) jako
- Ji:=limϵ→0∮Γϵ(Wni−njσjk ∂uk∂xi)dΓ{displaystyle J_{i}:=lim _{epsilon rightarrow 0}oint _{Gamma _{epsilon }}left(Wn_{i}-n_{j}sigma _{jk}~{cfrac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}right)dGamma }
gdzie Ji{displaystyle J_{i}} oznacza składową całki J dla otwartej szczeliny w kierunku xi{displaystyle x_{i}} a ϵ{displaystyle epsilon } jest małym obszarem wokół czoła szczeliny.
Używając Twierdzenie Greena można pokazać, że całka przyjmuje wartość 0.
Zobacz też |
- Mechanika pękania
Przypisy |
↑ J. R. Rice: A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain Concentration by Notches and Cracks (ang.). Journal of Applied Mechanics. [dostęp 2011-06-30].
