Mrthfx

Całka J przedstawia sposób opisu pola naprężeń, a dokładniej - stanu energetycznego w strefie czoła pęknięcia. Teoretyczne osnowy zostały opracowane w 1967 przez Cherepanowa i w 1968 przez Jima Rice'a niezależnie. Udowodnili, że całka J jest niezależna od drogi całkowania.

Dwuwymiarowa całka J |

Łuk otwarty dla którego oblicza się wartość całki J

Dwuwymiarowa całka J była początkowo określana jako^[1]

J:=∫Γ(W dx2−t⋅∂u∂x1 ds){displaystyle J:=int _{Gamma }left(W~dx_{2}-mathbf {t} cdot {cfrac {partial mathbf {u} }{partial x_{1}}}~dsright)}

gdzie W(x1,x2){displaystyle W(x_{1},x_{2})} jest oznacza gęstość energii odkształcenia, x1,x2{displaystyle x_{1},x_{2}} oznaczają współrzędne układu, t=n⋅σ{displaystyle mathbf {t} =mathbf {n} cdot {boldsymbol {sigma }}} oznacza wektor sił powierzchniowych na krzywej Γ{displaystyle Gamma } odpowiadającym jednostkowemu wektorowi n{displaystyle mathbf {n} } zewnętrznej normalnej do Γ{displaystyle Gamma }, σ{displaystyle sigma } oznacza tensor naprężeń Cauchy'ego, a u{displaystyle mathbf {u} } wektor przemieszczenia. Gęstość energii odkształcenia jest dany przez

W=∫0ϵσ:dϵ ;  ϵ=12[∇u+(∇u)T] .{displaystyle W=int _{0}^{epsilon }{boldsymbol {sigma }}:d{boldsymbol {epsilon }}~;~~{boldsymbol {epsilon }}={tfrac {1}{2}}left[{boldsymbol {nabla }}mathbf {u} +({boldsymbol {nabla }}mathbf {u} )^{T}right]~.}

Dla materiału liniowo-sprężystego, gęstość energii odkształcenia w punkcie upraszcza się do:
W=12σijϵij{displaystyle W={frac {1}{2}}sigma _{ij}epsilon _{ij}}.

Kontur zamknięty, na którym wartość całki J się zeruje

Całka J wokół czoła pęknięcia jest często wyrażana w bardziej ogólnej formie (w konwencji Einsteina) jako

Ji:=limϵ→0∮Γϵ⁡(Wni−njσjk ∂uk∂xi)dΓ{displaystyle J_{i}:=lim _{epsilon rightarrow 0}oint _{Gamma _{epsilon }}left(Wn_{i}-n_{j}sigma _{jk}~{cfrac {partial u_{k}}{partial x_{i}}}right)dGamma }

gdzie Ji{displaystyle J_{i}} oznacza składową całki J dla otwartej szczeliny w kierunku xi{displaystyle x_{i}} a ϵ{displaystyle epsilon } jest małym obszarem wokół czoła szczeliny.
Używając Twierdzenie Greena można pokazać, że całka przyjmuje wartość 0.

Zobacz też |

• Mechanika pękania

Przypisy |