Mrthfx

Pierścień lokalny – pierścień przemienny, który ma dokładnie jeden ideał maksymalny^[1][2]. Niektórzy autorzy pierścień przemienny o jedynym ideale maksymalnym nazywają quasi-lokalnym, rezerwując termin pierścień lokalny dla pierścieni quasi-lokalnych i noetherowskich^[3].

Własności |

• 
  Pierścień przemienny jest pierścieniem lokalnym wtedy i tylko wtedy, gdy suma jego każdych dwóch elementów nieodwracalnych jest elementem nieodwracalnym^[4].


• Pierścień R{displaystyle R} jest lokalny i m{displaystyle {mathfrak {m}}} jest jedynym ideałem maksymalnym pierścienia R{displaystyle R} wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element zbioru R∖m{displaystyle Rsetminus {mathfrak {m}}} jest odwracalny^[5].


• Jeżeli R{displaystyle R} jest pierścieniem lokalnym i noetherowskim o ideale maksymalnym m{displaystyle {mathfrak {m}}}, to

⋂n=0∞mn={0}{displaystyle bigcap _{n=0}^{infty }{mathfrak {m}}^{n}={0}}.

Jest to szczególny przypadek twierdzenia Krulla o przekroju^[6]. Założenia, że R{displaystyle R} jest pierścieniem noetherowskim nie można pominąć.

Przykłady |

• Każde ciało jest pierścieniem lokalnym (jego jedynym ideałem maksymalnym jest {0}{displaystyle {0}}).


• Pierścień szeregów formalnych o skończonej liczbie zmiennych i o współczynnikach z ciała jest pierścieniem lokalnym.


• 
  Pierścień lokalny kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych. Niech X{displaystyle X} będzie przestrzenią topologiczną oraz p∈X{displaystyle pin X}. Rozpatrzmy zbiór par (V,f){displaystyle (V,f)}, gdzie V{displaystyle V} jest otoczeniem punktu p{displaystyle p} i f:V→R{displaystyle fcolon Vto mathbb {R} } jest funkcją ciągłą. Określmy relację (V1,f1)∼(V2,f2)⟺f1|U=f2|U{displaystyle (V_{1},f_{1})sim (V_{2},f_{2})iff f_{1}|_{U}=f_{2}|_{U}} dla pewnego otoczenia U{displaystyle U} punktu p{displaystyle p}. Relacja ta jest relacją równoważności. Klasę abstrakcji zawierającą parę (V,f){displaystyle (V,f)} oznaczmy [V,f]{displaystyle [V,f]}. W zbiorze klas abstrakcji możemy wyróżnić [X,0]{displaystyle [X,0]} jako element zerowy i [X,1]{displaystyle [X,1]} jako jedynkę oraz odpowiednio zdefiniować działania dodawania i mnożenia. Pierścień ten nazywamy pierścieniem lokalnym kiełków rzeczywistych funkcji ciągłych w punkcie p{displaystyle p} przestrzeni topologicznej X{displaystyle X} i oznaczamy przez OX,p{displaystyle {mathcal {O}}_{X,p}}. Pierścień ten jest lokalny, gdyż jego jedynym ideałem maksymalnym jest ideał mX,p{displaystyle {mathfrak {m}}_{X,p}} złożony z wszystkich klas abstrakcji [V,f]{displaystyle [V,f]}, że f(p)=0{displaystyle f(p)=0}. Podobnie określa się pierścienie kiełków zespolonych funkcji ciągłych, różniczkowalnych (rzeczywistych bądź zespolonych) funkcji ustalonej klasy Cr{displaystyle C^{r}} w punkcie p{displaystyle p} rozmaitości różniczkowej X{displaystyle X}, a także pierścień kiełków funkcji regularnych w punkcie rozmaitości algebraicznej.


• 
  Lokalizacja względem ideału pierwszego. Dla dowolnego pierścienia przemiennego R{displaystyle R} i jego ideału pierwszego P{displaystyle P} pierścień złożony z elementów postaci ab{displaystyle {frac {a}{b}}}, gdzie a∈R,b∈R∖P{displaystyle ain R,bin Rsetminus P} jest pierścieniem lokalnym. Jego ideał maksymalny jest złożony z elementów ab{displaystyle {frac {a}{b}}}, dla których a∈P{displaystyle ain P}.


• Dla nierozkładalnego podzbioru W{displaystyle W} zbioru algebraicznego V{displaystyle V} pierścień wszystkich funkcji wymiernych, które są określone na otwartych podzbiorach W{displaystyle W} jest pierścieniem lokalnym, którego ideałem maksymalnym jest zbiór funkcji wymiernych równych 0 na W{displaystyle W}. Dla zbiorów afinicznych jest to lokalizacja pierścienia wielomianów względem ideału radykalnego odpowiadającego podzbiorowi.

Uogólnienie na pierścienie nieprzemienne |

Pojęcie pierścienia lokalnego ma dwa (nierównoważne) uogólnienia w klasie pierścieni nieprzemiennych. I tak pierścień (być może nieprzemienny) P nazywany jest

• 
  pierścieniem lokalnym, gdy pierścień ilorazowy P / rad P jest pierścieniem z dzieleniem;


• 
  pierścieniem semilokalnym, gdy P / rad P jest pierścieniem artinowskim.

Ponadto, dla dowolnego pierścienia P następujące warunki są równoważne:

1. 
   P jest pierścieniem lokalnym;


2. 
   P ma dokładnie jeden ideał lewostronny;


3. 
   P ma dokładnie jeden ideał prawostronny;


4. zbiór wszystkich elementów nieodwracalnych w P jest ideałem;


5. dla każdej liczby naturalnej n i a₁, ..., a_n ∈ P , o ile tylko element a₁ + ... + a_n jest odwracalny, to istnieje takie i ≤ n, że a_i jest odwracalny.

Pierścienie lokalne mają dokładnie jeden ideał maksymalny oraz nie mają elementów idempotentnych innych niż 0 i 1. Przykładem nieprzemiennego pierścienia lokalnego jest pierścień macierzy górnotrójkątnych ustalonego stopnia nad pierścieniem z dzieleniem, których wyrazy na głównej przekątnej są sobie równe.

Przypisy |

Bibliografia |

1. M. F. Atiyah, I. G. MacDonald: Introduction to commutative algebra. Westview Press, 1994, s. 4. ISBN 0-201-40751-5.


2. Andrzej Białynicki-Birula: Zarys algebry. Warszawa: PWN, 1997, s. 142-144.


3. Stanisław Balcerzyk: Wstęp do algebry homologicznej. Warszawa: PWN, 1972, s. 284.


4. Stanisław Balcerzyk, Tadeusz Józefiak: Pierścienie przemienne. PWN, 1985, s. 33, 50. ISBN 83-01-04874-3.


5. Tsit Yuen Lam: A first course in noncommutative rings. Wyd. Second edition. New York: Springer-Verlag, 2001, s. 284, seria: Graduate Texts in Mathematics, 131. ISBN 0-387-95183-0.


6. Jerzy Rutkowski: Algebra abstrakcyjna w zadaniach. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006, s. 183. ISBN 978-83-01-14388-6.