NURBS Krzywe NURBS | Zobacz też | Menu nawigacyjne
Modelowanie (grafika komputerowa)Krzywe
ang.krzywychpowierzchnimodelowaniagrafiki 3Dkrzywej B-spline
Przykładowa powierzchnia NURBS wraz z siatką kontrolną
NURBS (ang. Non-Uniform Rational B-Spline) – popularna nazwa dla dwóch rodzajów obiektów: krzywych i powierzchni.
Kształt tych krzywych określany jest za pomocą punktów kontrolnych tworzących wielobok kontrolny. Krzywe te znakomicie nadają się do modelowania kształtów organicznych w programach do tworzenia grafiki 3D.
Powierzchnia NURBS jest matematycznie najbardziej elastyczną metodą przedstawienia powierzchni dowolnego modelu. Powierzchnia B-spline jest łatwa w modyfikacji, gdyż każdy biegun jej siatki kontrolnej wpływa na kształt powierzchni tylko w ograniczonym stopniu. Siatka kontrolna jest analogiem wieloboku kontrolnego krzywej B-spline.
Krzywe NURBS |
Krzywe NURBS (n=3) określone na tych samych punktach kontrolnych; rys. górny – kontrola kształtu przez zmianę wartości węzłów (na osiach liczbowych zaznaczono rozkład węzłów); rys. dolny – kontrola kształtu poprzez zmianę wagi punktu (tutaj P2)
Wyjaśnienie wyrażeń w angielskiej nazwie:
B-spline – krzywe NURBS to krzywe B-sklejane, a więc parametryczne krzywe złożone z wycinków krzywych wielomianowych.
Rational – krzywe wymierne, ponieważ zdefiniowano je we współrzędnych jednorodnych; po przejściu na współrzędne kartezjańskie otrzymuje się funkcje wymierne. Rzecz ma się dokładnie tak samo jak w przypadku wymiernych krzywych Béziera.
Non-uniform – cecha krzywej B-sklejanej: węzły krzywej nie muszą być rozmieszczone równomiernie.
Na kształt krzywej NURBS wpływają następujące elementy:
punkty kontrolne p0,…,pm−n−1{displaystyle p_{0},ldots ,p_{m-n-1}};
węzły u0,…,um{displaystyle u_{0},ldots ,u_{m}} dzielące przedział [0,1]{displaystyle [0,1]} na m−1{displaystyle m-1}[wymaga weryfikacji?] podprzedziałów;
wagi punktów kontrolnych w0,…,wm−n−1{displaystyle w_{0},ldots ,w_{m-n-1}} (liczby rzeczywiste) określające wpływ każdego z punktów kontrolnych na krzywą;
n{displaystyle n} – stopień sklejanych wielomianów.
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
Dowolny punkt na krzywej dany jest wzorem:
p(t)=∑i=0m−n−1wipiNin(t)∑i=0m−n−1wiNin(t)dla t∈[un,um−n]{displaystyle p(t)={frac {sum _{i=0}^{m-n-1}w_{i}p_{i}N_{i}^{n}(t)}{sum _{i=0}^{m-n-1}w_{i}N_{i}^{n}(t)}}qquad {text{dla }} tin [u_{n},u_{m-n}]},
![{displaystyle p(t)={frac {sum _{i=0}^{m-n-1}w_{i}p_{i}N_{i}^{n}(t)}{sum _{i=0}^{m-n-1}w_{i}N_{i}^{n}(t)}}qquad {text{dla }} tin [u_{n},u_{m-n}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368bcf7553f49bc960eb01c7d83c6ea735450c4c)
gdzie:
Nin{displaystyle N_{i}^{n}} jest unormowaną funkcją B-sklejaną.
Zwyczajna krzywa B-sklejana jest specjalnym przypadkiem krzywej NURBS dla równych sobie wag wi{displaystyle w_{i}} różnych od zera. Krzywa NURBS łączy cechy krzywych B-sklejanych i wymiernych krzywych Béziera. W szczególności waga punktu wpływa na kształt lokalnie, co pokazano na rysunku – krzywa „zbliża się” lub „oddala” od punktu, w zależności od jego wagi. Odcinek krzywej jest liniowy, jeżeli punkt ma wagę równą zeru.
Zobacz też |
- śledzenie promieni
