Liczba Cauchy’ego Relacja między Liczbą Cauchy’ego i liczbą Macha | Bibliografia | Menu...
Mechanika płynówLiczby podobieństwa
liczb podobieństwamechanice płynówprzepływów ściśliwychAugustina Cauchyprzemianie izentropowejliczbą machawykładnikiem adiabatyrównaniu Clapeyronaprzemiana izentropowagazu doskonałego
Liczba Cauchy’ego, Ca{displaystyle mathrm {Ca} } jest jedną z bezwymiarowych liczb podobieństwa używanych w mechanice płynów do opisu przepływów ściśliwych. Jej nazwa pochodzi od nazwska francuskiego matematyka Augustina Cauchy.
W przypadku gdy ściśliwości płynu nie można zaniedbać, aby zachować podobieństwo dynamiczne siły bezwładności oraz sprężystości muszą być rozpatrywane łącznie. Liczba Cauchy’ego jest więc definiowana jako stosunek wartości tych sił w rozpatrywanym przepływie i może być zapisana jako:
Ca=ρv2K{displaystyle mathrm {Ca} ={frac {rho v^{2}}{K}}},
gdzie
ρ{displaystyle rho } = gęstość płynu, (jednostka SI: kg/m3)
v{displaystyle v} = lokalna prędkość płynu, (jednostka SI: m/s)
K{displaystyle K} = Współczynnik sprężystości objętościowej, (jednostka SI: Pa)
Relacja między Liczbą Cauchy’ego i liczbą Macha |
W przemianie izentropowej, liczba Cauchy’ego może być wyrażona w powiązaniu z liczbą macha. Izentropowy współczynnik sprężystości objętościowej Ks=γp{displaystyle K_{s}=gamma p}, gdzie γ{displaystyle gamma } jest wykładnikiem adiabaty a p{displaystyle p} jest ciśnieniem płynu.
Przy założeniu że płyn jest gazem doskonałym (czyli podlega równaniu Clapeyrona) otrzymamy:
Ks=γp=γρRT=ρa2{displaystyle K_{s}=gamma p=gamma rho RT=,rho a^{2}},
gdzie
a=γRT{displaystyle a={sqrt {gamma RT}}} = prędkość dźwięku, (jednostka SI: m/s)
R{displaystyle R} = Stała gazowa, (jednostka SI: J/(kg K) )
T{displaystyle T} = temperatura, (jednostka SI: K)
Podstawiając Ks{displaystyle K_{s}} zamiast K{displaystyle K} w równaniu na Ca{displaystyle mathrm {Ca} } otrzymamy:
Ca=v2a2=M2{displaystyle mathrm {Ca} ={frac {v^{2}}{a^{2}}}=M^{2}}.
Podsumowując, liczba Cauchy’ego równa jest kwadratowi liczby Macha podczas izentropowego przepływu (przemiana izentropowa) gazu doskonałego.
Bibliografia |
- B. S. Massey, J. Ward-Smith Mechanics of Fluids, 7 edycja. Cheltenham : Nelson Thornes, 1998. isbn: 0-7487-4043-0
