Mrthfx

Macierz hermitowska (albo samosprzężona) – macierz kwadratowa A=(aij){displaystyle A=(a_{ij})} równa swojemu sprzężeniu hermitowskiemu, tj. macierz spełniająca warunek

(aij)=(aji¯){displaystyle (a_{ij})=({overline {a_{ji}}})}.

Nieskończenie wymiarowym uogólnieniem macierzy hermitowskiej jest operator samosprzężony (hermitowski).

Przykłady |

(1) Macierze hermitowskie 2 x 2:

a) macierze symetryczne rzeczywiste, tj. [abbc],a,b,c∈R{displaystyle {begin{bmatrix}a&b\b&cend{bmatrix}},a,b,cin mathbb {R} }, np. [1227]{displaystyle {begin{bmatrix}1&2\2&7end{bmatrix}}}

b) [1−ii1],[2−ii1]{displaystyle {begin{bmatrix}1&-i\i&1end{bmatrix}},{begin{bmatrix}2&-i\i&1end{bmatrix}}}

c) macierze Pauliego

σ1=[0110],σ2=[0−ii0],σ3=[100−1]{displaystyle sigma _{1}={begin{bmatrix}0&1\1&0end{bmatrix}},,,sigma _{2}={begin{bmatrix}0&-i\i&0end{bmatrix}},,,sigma _{3}={begin{bmatrix}1&0\0&-1end{bmatrix}}}

d) macierz zbudowana macierzy Pauliego

H(x,y,z)=xσ1+yσ2+zσ3=[zx−iyx+iy−z]{displaystyle H(x,y,z)=xsigma _{1}+ysigma _{2}+zsigma _{3}={begin{bmatrix}z&x-iy\x+iy&-zend{bmatrix}}}

(2) Macierze hermitowskie 3 x 3:

a) macierze symetryczne rzeczywiste, tj.

[abcbdecef],a,b,c,d,e,f∈R{displaystyle {begin{bmatrix}a&b&c\b&d&e\c&e&fend{bmatrix}},a,b,c,d,e,fin mathbb {R} }, np. [12427040−3]{displaystyle {begin{bmatrix}1&2&4\2&7&0\4&0&-3end{bmatrix}}}

b) A=[21−2ii1+2i−23+2i−i3−2i5].{displaystyle A={begin{bmatrix}2&1-2i&i\1+2i&-2&3+2i\-i&3-2i&5end{bmatrix}}.}

Macierz ta jest hermitowska, ponieważ:

A†=([21−2ii1+2i−23+2i−i3−2i5]T)∗=[21−2ii1+2i−23+2i−i3−2i5]=A{displaystyle A^{dagger }=left({begin{bmatrix}2&1-2i&i\1+2i&-2&3+2i\-i&3-2i&5end{bmatrix}}^{T}right)^{ast }={begin{bmatrix}2&1-2i&i\1+2i&-2&3+2i\-i&3-2i&5end{bmatrix}}=A}

(3) Macierze hermitowskie 4 x 4:

a) macierz gamma Diraca γ0{displaystyle gamma ^{0}}

γ0=(1000010000−10000−1){displaystyle {begin{aligned}gamma ^{0}&={begin{pmatrix}1&0&0&0\0&1&0&0\0&0&-1&0\0&0&0&-1end{pmatrix}}end{aligned}}}

b) macierze alpha i beta Diraca

Własności |

Tw. 1 Macierz hermitowska na głównej przekątnej ma wyrazy rzeczywiste.

Tw. 2 Macierz hermitowska ma rzeczywiste wartości własne. Dowód: Niech λ{displaystyle lambda } będzie wartością własną macierzy A, tj. Ax=λx{displaystyle Ax=lambda x} dla pewnego niezerowego wektora x. Wówczas

λ⟨x,x⟩=⟨λx,x⟩=⟨Ax,x⟩=⟨x,Ax⟩=⟨x,λx⟩=λ¯⟨x,x⟩{displaystyle lambda langle x,xrangle =langle lambda x,xrangle =langle Ax,xrangle =langle x,Axrangle =langle x,lambda xrangle ={overline {lambda }}langle x,xrangle },

co dowodzi, że λ{displaystyle lambda } jest liczbą rzeczywistą ponieważ λ=λ¯{displaystyle lambda ={overline {lambda }}}.

Tw. 3 Wektory własne niezdegenerowanej macierzy hermitowskiej są ortogonalne.

Dowód: Niech λ1{displaystyle lambda _{1}} i λ2{displaystyle lambda _{2}} będą różnymi wartościami własnymi macierzy A{displaystyle A} dla pewnych wektorów, kolejno x1{displaystyle x_{1}} i x2{displaystyle x_{2}}, tj. Ax1=λ1x1{displaystyle Ax_{1}=lambda _{1}x_{1}} oraz Ax2=λ2x2{displaystyle Ax_{2}=lambda _{2}x_{2}}. Wówczas:

λ2⟨x1,x2⟩=⟨x1,λ2x2⟩=⟨x1,Ax2⟩=⟨A†x1,x2⟩=⟨λ1∗x1,x2⟩=λ1∗⟨x1,x2⟩{displaystyle lambda _{2}langle x_{1},x_{2}rangle =langle x_{1},lambda _{2}x_{2}rangle =langle x_{1},Ax_{2}rangle =langle A^{dagger }x_{1},x_{2}rangle =langle lambda _{1}^{*}x_{1},x_{2}rangle =lambda _{1}^{*}langle x_{1},x_{2}rangle }

Zgodnie z Tw. 2 wartości własne są rzeczywiste, a więc λ1∗=λ1{displaystyle lambda _{1}^{*}=lambda _{1}}

Sąd:

λ2⟨x1,x2⟩=λ1⟨x1,x2⟩⇒(λ2−λ1)⟨x1,x2⟩=0{displaystyle lambda _{2}langle x_{1},x_{2}rangle =lambda _{1}langle x_{1},x_{2}rangle Rightarrow (lambda _{2}-lambda _{1})langle x_{1},x_{2}rangle =0}

ponieważ λ2≠λ1{displaystyle lambda _{2}neq lambda _{1}} (macierz niezdegenerowana), ⟨x1,x2⟩=0{displaystyle langle x_{1},x_{2}rangle =0}, a więc wektory x1{displaystyle x_{1}} i x2{displaystyle x_{2}} są ortogonalne.

Tw. 4 Wyznacznik macierzy hermitowskiej jest rzeczywisty.

Tw. 5 Macierz hermitowska o wyrazach rzeczywistych jest macierzą symetryczną

Formy hermitowskie |

Formę g na zespolonej przestrzeni liniowej V nazywa się hermitowską jeżeli

1. g(a1ξ1+a2ξ2,ϑ)=a1g(ξ1,ϑ)+a2g(ξ2,ϑ)(a1,a2∈C,ξ1,ξ2,ϑ∈V){displaystyle g(a_{1}xi _{1}+a_{2}xi _{2},vartheta )=a_{1}g(xi _{1},vartheta )+a_{2}g(xi _{2},vartheta );;;(a_{1},a_{2}in mathbb {C} ,xi _{1},xi _{2},vartheta in V)}


2. 
   g(ξ,ϑ)=g(ϑ,ξ)¯(ξ,ϑ∈V){displaystyle g(xi ,vartheta )={overline {g(vartheta ,xi )}};;;(xi ,vartheta in V)}.

Formy hermitowskie są we wzajemnej jednoznaczności z macierzami hermitowskimi: macierz formy hermitowskiej jest hermitowska. Z drugiej strony, jeżeli A jest n-wymiarową macierzą hermitowską, to wzór

g(ξ,ϑ)=ξAϑT(ξ,ϑ∈Cn){displaystyle g(xi ,vartheta )=xi Avartheta ^{T};;;(xi ,vartheta in mathbb {C} ^{n})}

definiuje formę hermitowską w przestrzeni Cn{displaystyle mathbb {C} ^{n}} (symbol ϑT{displaystyle vartheta ^{T}} oznacza postać kolumnową wektora poziomego ϑ{displaystyle vartheta }).

Zobacz też |

• sprzężenie hermitowskie macierzy


• operator hermitowski


• macierz antyhermitowska

Bibliografia |

• Grzegorz Banaszak, Wojciech Gajda: Elementy algebry liniowej cz. I. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2002. ISBN 83-204-2566-2.


• Andrzej Mostowski, Marceli Stark: Algebra liniowa. PWN, 1975, s. 125-127.