Mrthfx

Twierdzenie (Clausiusa) o wiriale opisuje zależność między średnią energią potencjalną a średnią energią kinetyczną cząstki lub układu. Zgodnie z nim dla pojedynczej cząstki poruszającej się ruchem ograniczonym w polu o potencjale V=arn,{displaystyle V=ar^{n},} średnie energie spełniają zależność

2⟨Ek⟩=n⟨Ep⟩.{displaystyle 2langle {E_{k}}rangle =nlangle {E_{p}}rangle .}

Na przykład dla oscylatora harmonicznego V=kr2,{displaystyle V=kr^{2},} a zatem zgodnie z twierdzeniem o wiriale ⟨Ek⟩=⟨Ep⟩.{displaystyle langle E_{k}rangle =langle E_{p}rangle .} Dla planety w polu grawitacyjnym V=−k/r,{displaystyle V=-k/r,} wobec tego

2⟨Ek⟩=−⟨Ep⟩.{displaystyle 2langle E_{k}rangle =-langle E_{p}rangle .}

Twierdzenie o wiriale stosowane jest przede wszystkim w fizyce statystycznej, pozwala bowiem często obliczyć średnią energię kinetyczną (a więc temperaturę) układu bez analizowania ruchu pojedynczych cząstek. W astrofizyce natomiast używa się go na przykład do wyznaczania mas gromad galaktyk – gdy znamy (z obserwacji) prędkości galaktyk w gromadzie, to możemy wyciągać wnioski na temat potencjału grawitacyjnego, w którym się poruszają. Wyniki takich oszacowań są jedną z przesłanek wskazujących na istnienie ciemnej materii.

Twierdzenie o wiriale w mechanice kwantowej |

Twierdzenie o wiriale występuje również w mechanice kwantowej. Można je wyprowadzić, korzystając z własności komutatorów oraz twierdzenia Ehrenfesta:

ddt⟨A⟩=1iℏ⟨[A,H]⟩.{displaystyle {frac {d}{dt}}langle Arangle ={frac {1}{ihbar }}langle [A,H]rangle .}

Podstawimy

A=xp,{displaystyle A=xp,}

gdzie:

p{displaystyle p} – operator pędu,

x{displaystyle x} – operator położenia,

oraz

H=T+V(x),{displaystyle H=T+V(x),}

gdzie:

T{displaystyle T} – operator energii kinetycznej,

V{displaystyle V} – energia potencjalna.

Obliczmy [xp,T]:{displaystyle [xp,T]{:}}

[xp,T]=[x,T]p+x[p,T]=[x,T]p=12m[x,p2]p=12m([x,p]p+p[x,p])p=2iℏ2mp2=2iℏT.{displaystyle [xp,T]=[x,T]p+x[p,T]=[x,T]p={frac {1}{2m}}[x,p^{2}]p={frac {1}{2m}}{big (}[x,p]p+p[x,p]{big )}p={frac {2ihbar }{2m}}p^{2}=2ihbar T.}

Obliczmy [xp,V(x)]:{displaystyle [xp,V(x)]{:}}

[xp,V(x)]=[x,V(x)]p+x[p,V(x)]=x[p,V(x)]=−iℏx[ddx,V(x)]=−iℏx(dV(x)dx+V(x)ddx−V(x)ddx)=−iℏxdV(x)dx.{displaystyle {big [}xp,V(x){big ]}={big [}x,V(x){big ]}p+x{big [}p,V(x){big ]}=x{big [}p,V(x){big ]}=-ihbar xleft[{frac {d}{dx}},V(x)right]=-ihbar xleft({frac {dV(x)}{dx}}+V(x){frac {d}{dx}}-V(x){frac {d}{dx}}right)=-ihbar x{frac {dV(x)}{dx}}.}

Ostatecznie mamy:

[xp,H]=[xp,T]+[xp,V(x)]=iℏ(2T−xdV(x)dx).{displaystyle [xp,H]=[xp,T]+{big [}xp,V(x){big ]}=ihbar left(2T-x{frac {dV(x)}{dx}}right).}

Podstawiając do twierdzenia Ehrenfesta, dostajemy

ddt⟨xp⟩=2⟨T⟩−⟨xdV(x)dx⟩.{displaystyle {frac {d}{dt}}langle xprangle =2langle Trangle -leftlangle x{frac {dV(x)}{dx}}rightrangle .}

Średnie ⟨…⟩{displaystyle langle dots rangle } w powyższym równaniu należy obliczać dla stanu własnego ψ{displaystyle psi } hamiltonianu. Lewa strona równości jest wtedy równa 0:

ddt⟨xp⟩=ddt⟨ψ|xp|ψ⟩=⟨ψ˙|xp|ψ⟩+⟨ψ|xp|ψ˙⟩=−1iℏ⟨ψ|Exp|ψ⟩+1iℏ⟨ψ|xpE|ψ⟩=0,{displaystyle {frac {d}{dt}}langle xprangle ={frac {d}{dt}}langle psi |xp|psi rangle =langle {dot {psi }}|xp|psi rangle +langle psi |xp|{dot {psi }}rangle ={frac {-1}{ihbar }}langle psi |Exp|psi rangle +{frac {1}{ihbar }}langle psi |xpE|psi rangle =0,}

gdzie:

E{displaystyle E} – energia całkowita w tym stanie.

Wówczas równanie przyjmuje postać:

2⟨T⟩=⟨xdV(x)dx⟩.{displaystyle 2langle Trangle =leftlangle x{frac {dV(x)}{dx}}rightrangle .}

Przyjmując V(x)=axn,{displaystyle V(x)=ax^{n},} dostajemy twierdzenie o wiriale.

Zobacz też |

• mechanizm Kelvina-Helmholtza